$Calculate$ $I=\int_0^{\frac{1}{a}}x^p(1-ax)^qdx$

 $Q$ $$I=\int_0^{\frac{1}{a}}x^p(1-ax)^qdx$$ 

$..............(i)$                            

$solution$-

 $let$      $ 1-ax=t$

$differentiating$ $both$ $sides$

$-adx=dt$

$dx=-\frac{dt}{a}$

$Also$  $t\to 1$ $when$ $x\to 0$ & $t\to 0$ $when$ $x\to \frac{1}{a}$

$Now$ $putting$ $these$ $values$ $into$ $integral$ $(i) $

$so$ $we$ $have$

$$I=\int_1^0(\frac{1-t}{a})^p(t)^q(-\frac{dt}{a})$$ 

$$I=-\int_1^0\frac{(1-t)^p}{a^p}t^q\frac{dt}{a}$$ 

$$I=-\frac{1}{a^{p+1}}\int_1^0(1-t)^pt^qdt$$ 

$\{\int_a^bfdx=-\int_b^afdx\}$

$$I=\frac{1}{a^{p+1}}\int_0^1(1-t)^pt^qdt$$      

$$I=\frac{1}{a^{p+1}}\int_0^1(1-t)^{(p+1)-1}t^{(q+1)-1}dt$$ 

$\{\beta(m,n)=\beta(n,m)\}$    

$$I=\frac{1}{a^{p+1}}\int_0^1t^{(q+1)-1}(1-t)^{(p+1)-1}dt$$ 

$$I=\frac{1}{a^{p+1}}\beta(q+1,p+1)$$

$$I=\frac{1}{a^{p+1}}\beta(p+1,q+1)$$

$Answer. $